【2元1次方程式】直線上の点の座標が文字の応用問題の攻略

sugaku148

今回は座標が文字で表されている問題について学習を深めていく。

応用問題といっても、今まで学習してきたことが出来ればそこまで心配することはない。

まだまだ習ってきたことに対して不安がある場合は、復習してから臨むようにしよう。

座標を文字で表す復習



問題に入る前に簡単に復習をしておこう。

 

①y=2x+3で、xの値がaのときのyの値は?

⇒x=aを代入して、y=2a+3がyの値となる。

座標は、(a,2a+3)となる。

 

②y=2x+3で、yの値がbのときのxの値は?

⇒y=bを代入して、

mondai2

座標で表すと、

mondai3

となる。

 

以上のことをしっかりと理解しておこう。

 

 

文字を用いた応用問題

 

下の図のように、直線y=2x上の点をAとし、Aを通りx軸に平行な直線と

直線と直線y=-x+10との交点をBとする。またB,Aからx軸に下した垂線をBC,ADとする。

四角形ABCDが正方形となるときの点Aの座標を求めよ。

mondai2

 

こういった問題が解けると、定期テストなどでかなり差をつけられる。

解き方が浮かぶだろうか?

 

 

 

 

 

 

 

解法

 

まずは求めたいものを整理することからはじめる。

Aの座標を求めたい、ということだが、Aの座標に関することは、

 

・y=2x上の点である。

 

ことしか今のところ分かっていない。

よってまず、Aの座標を文字で表すことから始めなければならない。



Aのx座標をaでおくと(aでもbでもcでも何でおいてもよい)

 

(a,2a)

 

とAの座標をおくことが出来る。

 

Aの座標を文字で表したおかげで、

いろいろと見えてくる。

 

Bは、

「Aを通りx軸に平行な直線とy=-x+10との交点」

なので、Aとy座標の値が同じであることが分かる。

※x軸に平行な直線上の点は、yの値がどこをとっても同じ

 

よって、B(~,2a)、ということが分かるので、y=2aをy=-x+10に代入すると、

2a=-x+10 ⇔ x=-2a+10

となり、B(-2a+10,2a)、ということがわかる。

 

次に、Aからx軸に下した垂線とx軸との交点がDなので

DとAのx座標の値が同じであることが分かる。

※x軸への垂線=y軸に平行な直線なので、

直線上のどこをとってもxの値が同じ

 

よってDの座標は(a,0)となる。

 

今までの状況を図で表すと以下のようになる。

mondai3

※Cの座標もaで表せるが、問題を解くときに特に必要とないため

表す必要はない。

 

ここからどうするかというと、

「四角形ABCDが正方形となるときの点Aの座標」

を求めなければならないので、四角形ABCDが正方形となる場合を考える。

 

正方形とは、超簡単に言うと、

縦と横の長さが同じ四角形

なので、ADの長さとABの長さが同じになればよさそうである。

 

まずはADの長さだが、AD=2a・・・①となる。

※2a-0=2a

 

次にABの長さだが、Bのx座標からAのx座標を引けば

出てくる。

AB=-2a+10-a=-3a+10・・・②

となる。



あとは、①=②となるaについての方程式を解けばよい。

2a=-3a+10 ⇔ 5a=10 ⇔ a=2

となる。

 

あとはa=2をA(a,2a)に代入すると、

 

A(2,4)

 

という答えが出てくる。

 

 

いかがだっただろうか?

 

今回のような複雑な問題でも、

 

・求めたいものを文字でおく

・問題文をヒントに文字で置けるものはおく

 

ことが出来れば自分で解ける力はつくはずだ。

 

しっかりと勉強をし、正解を導けるようになっていこう!

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