【文字式の利用】偶数・奇数を使った整数問題の攻略①

数学35

 

整数の性質を使った文字式の問題は、

文字式の利用の問題の中で1番難しいといっても過言ではない。

こういった問題は、問題文をみて自分で式を作れるかがすべてである。

 

今回ご紹介する問題を自分で解くことが出来れば、

定期テストでもライバルに差を付け高得点を狙うことが可能である。

しっかり学習して自分の力にしてもらいたい。

 

 



 

偶数と奇数とは?




 

まず文字式の利用問題を解く上で理解しなければならないのは、

偶数と奇数それぞれがどんなものであるのか、ということである。

 

偶数は、2.4.6.8.10.12.14・・・・・

必ず2の倍数となっているものである。

 

それに対して奇数は、

1,3,5,7,9,11,13,15,17・・・

2の倍数より1小さいものである。

 

まずはこの違いを覚えておかなければ問題は解けない。

 

 

 

整数の性質を使った文字式問題

 

 

以下のような問題が定期テストなどで良く出される問題である。

 

○連続する3つの偶数は6の倍数であることをを説明せよ。

 

以上のような問題を解くとき、

「連続する3つの偶数を文字を使って表す」

ことが出来たら90%問題は解けたようなものである。

 

連続する3つの偶数は、具体的に表すと

2,4,6   4,6,8    10,12,14

といったものである。

※ちなみに-6、-4、-2、といった負の数も偶数である。



ここでnを整数とし、真ん中の数を2nと表すとする。

2×文字と表すことでどんな2の倍数も表すことが可能となる。

基本的にこういった問題は、n>0で考えるのが普通。

 

真ん中の数を2nとすれば、他の数は2n-22n+2と表すことが出来る。

※真ん中の数は偶数なので、

1つ小さい数は真ん中より2小さく、1つ大きい数は真ん中より2大きくなる。

 

よって、あとはこれら3つの偶数を足せばよい。

以下この問題の証明なので、実際の問題では以下のように解答しよう。

 

 

(解答)

nを整数とし、真ん中の数をnとすると3つの偶数は2n-2,2n.2n+2と表せる。

3つの偶数の和は、2n-2+2n+2n+2=6n、と表せる。

nは整数であり、6nは6×整数の形であるので6の倍数である。

よって連続する3つの偶数の和は6の倍数である。

 

 

以上のように整数の問題は解答していこう。

 

いかがだっただろうか?



こういった整数問題は式が作れるかどうかで問題が解答できるかが決まる。

同じような問題を何問も何問もといて、しっかり基礎力を養成していこう。

 

次回も整数の問題について解説していく。

 

【文字式の利用】偶数・奇数を使った整数問題の攻略①” への4件のコメント

  1. デンキ より:

    n≦2
    (2n-4), (2n-2), 2nは連続する偶数であり、
    nに整数を入れた、総和も6の倍数になると思いますが、
    6n-2となり、6の倍数とは言えなくなります。
    このケースだとどうなんでしょうか?

    • 牧野史浩 より:

      >デンキさん
      (2n-4), (2n-2), 2nの総和が6の倍数ということを証明すればよいのですよね?
      2n-4+2n-2+2n=6n-6=6(n-1)
      n-1は整数だから、6×整数となり6の倍数となる。
      よって(2n-4), (2n-2), 2nの総和は6の倍数となる。
      でよいと思います。

      • デンキ より:

        簡単な計算間違いをしていました。
        回答ありがとうございます!

        • 牧野史浩 より:

          >デンキさん
          いえいえ!ご質問ありがとうございます!

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