【文字式の利用】文字を使った整数問題の攻略

数学37

 

文字式の利用の問題に関しては、

今回の整数問題を理解出来れば基本的な問題は解答可能となる。

 

次の連立方程式の分野においても、

この整数問題を理解できるかは非常に重要な問題となるのでしっかり理解していこう。

 



 

 

2けたの整数をAとして・・・・

 



ある2けたの整数をA、

Aの十の位の数字と一の位の数字を入れ替えて出来る2けたの整数をBとする。

Aの十の位の数字をx、一の位の数字をy(ただしx≠0、y≠0)とき、

①A、Bをそれぞれx、yの式を表せ。

②A+Bをx、yの式で表し、A+Bが11の倍数であることを証明せよ。

 

という問題が出題されたとする。

 

前回も説明したが、このような問題が解けるかを決めるのは

「文字を使って式」を表せるかどうかである。

 

 

 

AとBをx,yを使って表そう!

 

 

2けたの整数Aをxとyを使って表す時、一番多い間違えは、

「xy」と表すことである。

 

これはただ単純に十の位にx、一の位にyを置いただけである。

 


 

この「xy」はx×yという意味なので、2けたの整数ではなくただの文字の式である。

 

ではどのように表せばよいかというと、

ここで1度具体的な2けたの整数を使って考えてみると分かりやすい。

 

例えば96という整数があるとする。

 




この十の位が9で一の位が6なので96であるが、別の見方をすると、

90+6=96、という見方が出来る。

これをもっと詳しく見ていくと・・・・

10×9(十の位の数)+6(一の位の数)=96

と考えることが出来る。

 

この考え方を使ってA、そしてBを表せばよいのである。

 

Aは十の位の数がx一の位の数がyであるから、

A=10x+y、と表すことができる。

 

同じようにBは十の位がy、一の位がxであるので、

B=10y+x、と表すことができる。

 

これで①のAとBをそれぞれx、yの式で表せという問題はすべて解答出来た。

 

 

 

A+Bは11の倍数?

 

残りは、

②A+Bをx、yの式で表し、A+Bが11の倍数であることを証明せよ。

という問題だけである。

 

先ほどA=10x+y、B=10y+xと表すことが出来たので、

次はA+Bを計算してみる。

 

A+B=10x+y+10y+x=11x+11y

、と出来たのであとはこれを11の倍数と証明できれば解答は終了する。

 

A+B=11x+11y=11(x+y)、と表せる。

※11(x+y)=11x+11y、と分配法則を使ったら元の形に戻せるから。

 

このとき、x+yは整数なので、11×整数の形となる。

11×整数は11の倍数なので、A+Bは11の倍数となる。

 

 

以上でこの問題は終了である。



 

いかがだっただろうか?

 

こういった問題は非常に理解が難しいが、

理解出来たらそれだけライバルに差をつけられるので出来て損はない。

 

しっかりと理解し自分の力に変えていこう。

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