【因数分解】中学で学習する素因数分解の解き方とは?

数学37

 

中学3年生では、式の展開を学習した後に「因数分解」という単元を学習する。

因数分解は名前こそ難しそうだが、やってみるとそうでもないことが多い。

 

今回は因数分解の中でも、素因数分解の解き方を詳細に解説していく。

 

素因数分解の解き方をマスターするには、

①因数

②素数

③素因数分解の解き方

の3つを理解しなければならないので、順々に説明していく。

 

 



 



因数とは?

 

因数とは、整数をいくつかの積で表したとき1つ1つの数のことである。

 

例えば24という数から因数を考えるとする。

 

24=2×12、や24=3×824=6×424=24×1、などいろいろな数で表せる。

つまり、1,2,3,4,6,8,12,24という数は24の因数であるといえる。

 

以上が因数の考え方である。

 

 

素数とは?

 

某有名漫画のセリフで、

「落ち着くんだ・・・素数を数えて落ち着くんだ・・・・」

とあるので素数の存在について知ってる方も多いであろう。

 

素数とは定義的には、

「1とその数自身の他に因数をもたない整数、ただし1は除く」

というものである。

 

具体的にどういうものが素数であるかというと、

2,3,5,7,11,13,1719・・・・・

である。

 

2は、2=1×2、というように1と2だけしか因数をもたない。(整数においての話)

同じように3=1×3、5=1×5、も同じように1とその数自身しか因数をもたない。

 

24は素数ではない。

なぜかというと、1と24以外にも2,3,4,6,8,12という因数を持つからである。

 

以上のようなものを素数というので、素数と素数ではないものをしっかり区別して覚えよう。

※1は素数ではないので気をつけよう。



 

 

素因数分解の解き方

 

 

因数分解でまず初めにつまづくのがこの素因数分解である。

 

素因数分解とは、

「整数を素数だけの積の形で表すこと」

である。

 

つまり整数=素数×素数・・・

という形に直すことを素因数分解という。

 

では具体的な素因数分解の解き方を見ていこう。

 

例えば24という数を素因数分解せよ、という問題があるとする。

こういう時は、以下の図のようにどんどん素数で24を割っていけばよい。

 


※ポイントは小さい素数から割っていくこと。

2ではじめ、2で割れなくなったら3で、それがだめなら5、と値を大きくしていく。

 

以上のように計算していくと、

24=2×2×2×3×1、であることが分かる。

 

しかし素因数分解は素数だけの積の形表すので、

1を入れてはいけない。



よって24を素因数分解した答は、

 


 

、という形になる。

 

 

以上のように素因数分解は解いていけばよい。

 

これが理解出来たら、140という大きな数も素因数分解できる。

 


 

と計算できるので、答は、

 


 

という答えとなる。

 

 

いかがだっただろうか?

 

 

この素因数分解の解き方は因数分解の基本中の基本となるのでしっかり覚えておこう。

 

【因数分解】中学で学習する素因数分解の解き方とは?” への25件のコメント

  1. ゆーちゃん より:

    (x-y+9)2乗
    の解き方教えてください!

    • 牧野史浩 より:

      >ゆーちゃん

      (x-y+9)2乗はx-y=Mとおいて、
      (M+9)2乗=M2乗+18M+81、と計算し、ここでx-y=Mなので、
      (x-y)2乗+18(x-y)+81=x2乗-2xy+y2乗+18x-18y+81、となりますね。

      • 藤ヶ谷はるか より:

        xy+2x-y-2

        の解き方を教えてください!!

        • 牧野史浩 より:

          >藤ヶ谷さん
          因数分解でしょうか?
          であれば・・・
          xy+2x-y-2=x(y+2)-(y+2)=(y+2)(x-1)
          が答えとなります。

        • ダメ男 より:

          xy+2x-y-2=x(y+2)-(y+2)
          =(y+2)(x-1)

  2. くう より:

    3√24を
    因数分解して2√6
    にするにはどうすればいいんですか?

    • 牧野史浩 より:

      >くうさん
      √24は、√2×√2×√2×√3
      なので、√24=2√6
      となります。
      あとは3√24=3×2√6=6√6となります。

  3. pakkun より:

    説明で、小さい素数から割っていくこと、と書いてあるのに140の解答で70の割り算を7で解いているのにはわけがありますか?

    • 牧野史浩 より:

      >pakkunさん
      ご指摘いただきありがとうございます。
      小さい素数で割っていくのが基本ですが、70という大きい数であれば、
      7で割ったほうがその後の計算が楽になると考えて7で割りました。
      もちろん2,3などの小さい素数で割っていくのが基本となります。
      基本にそった解答をせず、困惑させてしまい申し訳ありません。
      今後は解説してあるものを基本に説明させていただきます!

      • 匿名 より:

        X二乗ー7x+12はどうやって因数分解するんですか?

        • 牧野史浩 より:

          >匿名さん
          x^2-7x+12の因数分解は、まず12の部分から考えます。
          12は、1×12、2×6、3×4、
          -1×(-12)、-2×(-6)、-3×(-4)で出てくるので、ここから
          足して-7になる組み合わせを考えます。

          以上から、-3と-4の組み合わせであれば、
          -3×(-4)=12  -3-4=-7
          と出てくるので答えは、

          (x-3)(x-4)

          と因数分解ができます。

          質問されたような形の因数分解は、

          ①12の部分の組み合わせを考える
          ②①で考えた組み合わせから足して-7になる形を見つける

          以上のように考えていけば、大半の問題は解けるはずです。

          是非実践してみてください!

  4. メグたん より:

    めーっちゃ分かりやすい∑(゚Д゚)

    • 牧野史浩 より:

      >メグたんさん
      ありがとうございます!
      お役に立ててうれしいです^^

  5. 匿名 より:

    いっしゅんでわかりました‼

    • 牧野史浩 より:

      >匿名さん

      ありがとうございます!!
      お役に立ててよかったです!
      今後ともよろしくお願いします!

  6. なつき より:

    非常にわかりやすかったです!
    素因数分解につまづいていた所、このサイトを見つけ、
    正しく理解することができました。

    • 牧野史浩 より:

      >なつきさん
      ありがとうございます!
      素因数分解は結構複雑なところもあって難しいかと思いますが、
      一度理解してしまえば出来ますので頑張ってくださいね♪

  7. すぴか.+*:゚ より:

    (-4+√2+4)(-4+√2+4) の解き方を教えてください!!!

    • 牧野史浩 より:

      >すぴかさん

      コメントありがとうございます。
      解き方は2つ

      ①普通に展開していく

      ②乗法公式で解く

      の2つです。

      (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

      という公式を用いれば
      (-4+√2+4)(-4+√2+4)
      も解くことが出来ます。
      ※上の式の場合、a=-4 b=√2 c=4
      となるのであとはこれらの値を
      (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
      に代入するだけです。

      解き方は以上です。

      かなり大事な問題なので、一度自分で解いて解き方を身に着けておいたほうがいいです。
      よろしくお願いします!

    • 牧野史浩 より:

      >匿名さん
      コメントありがとうございます!
      素因数分解は中学はもちろん高校でもつかうものなので、
      しっかり理解されてくださいね!

  8. りぃ より:

    塾のテキストよりずっとわかりやすいです!
    ありがとうございます!

    • 牧野史浩 より:

      >りぃさん

      コメントありがとうございます!
      そういっていただけると嬉しいです♪
      素因数分解は高校でも学習する非常に重要な考え方ですから、
      ちゃんと今のうちからマスターしておいてくださいね!

  9. ぬぃ より:

    因数とは小学校で言う約数ですか?

    • 牧野史浩 より:

      >ぬぃさん

      コメントありがとうございます!
      う~ん・・・因数の説明自体は結構難しいのですがイメージ的には「約数」として捉えていて大丈夫ですよ!
      因数とは何か、説明しなさい。 的な問題は高校入試で出ないですし、もちろん普通学校の試験などにも出ないと思うのであまり気にしなくて大丈夫です!

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