【因数分解の応用】複雑な因数分解問題の解き方

数学46

 

今回ご紹介する因数分解の解き方が、因数分解の単元の最後となる。

この解き方は他の解き方と比べると非常に複雑な因数分解なので、なかなか手こずるだろう。

 

しかし、ここまで学習してきて、

レベルの高い高校を目指すあなたであれば苦戦しながらも壁を乗り越えられるはずだ。

 

因数分解の最後の単元ももれなくマスターしていこう。

 



 

 

 

複雑な因数分解を解くときの2つのポイント

 



今まで学習してきたのは3項式という3つの項しかない計算であった。

今回は、4つの項がある4項式の計算の解き方を説明していく。

 

4項式を因数分解するときは、多くの場合以下の2つのポイントのうちどちらかで解けばよい。

※当てはまらないことは多少あるので、注意しましょう。

 

①2項+2項→2項ずつ共通因数でくくると、共通部分を文字で置き換えられる。

②1項+3項→(  )2乗-2乗、または2乗-(  )2乗の形に出来る。

 

以上の2つのポイントはしっかりと押さえておこう。

 

では①、②のポイントに即して問題を解いていこう。

 

 

 

①2項+2項の計算の場合

 

 

ax-bx-ay+by

という式が①のポイントの解き方に当てはまる。

 

上の式はそれぞれxと-yを共通因数にもっているので、くくると、

 

x(a-b)-y(a-b)

 

となるので、あとは(a-b)を文字で置き換えてくくり(Aなどで表す)、

元に置き換え直すと・・・・

 

(a-b)(x-y)



と因数分解できる。

 

 

 

②1項+3項の計算の場合

 

 


 

という式が②のポイントの解き方で解く問題である。

 

一瞬解き方が分からないかも知れないが、

 


 

に注目すれば、-1でくくれば、

 


 

となり、(  )2乗の形に因数分解できることが分かる。

 

よって、

 


 

とこのように因数分解ができる。

 

 

 

いかがだっただろうか?

 

 

これでどんな因数分解の計算問題でも解けるようになったはずだ。

 

しかし複雑な因数分解の問題は1度や2度問題を解いただけでは完璧には出来ない。

※1回で出来たら相当できるか、天才であると思う。



弱点を1つずつ確実につぶしていくことが勉強である。

 

慢心せずに1歩1歩確実に進んでいこう。

 

 

以下に例題を2題用意しておくので、華麗に解いてみよう。

 

 

例題

 

次の式を因数分解せよ。

 




 




 

 

解答

 




 



【因数分解の応用】複雑な因数分解問題の解き方” への53件のコメント

  1. オカモチ より:

    わからないので教えて下さい
    上記②1項+3項の計算の場合
    の問題ですが
    (a+M)(a-M) ここまでは、わかるのですが
    Mを戻した際に
    (a+b-1)(a-b+1) の部分の
    b-1だったものが、b+1になる理由がわかりません。
    宜しかったら教えてください

    • 牧野史浩 より:

      >オカモチさん

      例えば、-xにx=-3を代入すると、-(-3)=3、となりますね。
      つまり代入する場合、-があったら、代入する数すべてに-を掛ける必要がでてきます。
      -MにM=b-1を代入するので、-M=-(b-1)=-b+1、となるのです。

      よろしくお願いします。

  2. S より:

    例題①の解説をしていただけませんか?

    • 牧野史浩 より:

      >sさん
      例題①はx^2-y-x+xyという式ですが、
      まずx^2とxyのx、-yと-xの-1でくくります。
      x(x+y)-(x+y)
      そうすると、x+yが共通因数として出てくるので、これをくくれば・・・
      (x+y)(x-1)
      という答えが出てきます!
      ※-(x+y)=-1×(x+y)

      • x より:

        答えを教えてください。

        • 牧野史浩 より:

          >xさん
          何の答えのことでしょうか?

  3. みほ より:

    この問題がわからないので教えてください!!

    (3x+1)(x-4)-2(x-1)^2+16

    これは、果たして因数分解なんですか?
    因数分解なのならば解き方を教えてください!

    • 牧野史浩 より:

      >みほさん
      問題でなんと書かれているでしょうか?
      因数分解せよ、であれば因数分解。
      展開せよ、であれば展開の問題となります。

      因数分解なのであれば、因数分解可能です。

      (3x+1)(x-4)-2(x-1)^2+16
      =3x^2-12x+x-4-2(x^2-2x+1)+16
      =3x^2-11x-4-2x^2+4x-2+16
      =x^2-7x+10
      =(x-2)(x-5)

      が解答となります。

  4. マツオ より:

    質問なんですが、aの2乗-4bの2乗-4bc-cの2乗の解き方が分かりません…..。
    どのように解けばよいですか?
    ちなみに答えは(a+2b+c)(a-2b-c)です。

    • 牧野史浩 より:

      >マツオさん
      a^2-4b^2-4bc-c^2
      =a^2-(c^2+4bc+4b^2)
      =a^2-(c+2b)^2
      =(a+c+2b)(a-(c+2b))
      =(a+2b+c)(a-2b-c)

      というのが答えです!

  5. 匿名 より:

    5x(x-7)-(x-7)の2乗の場合はどうすればいいですか?

    • 牧野史浩 より:

      >匿名さん
      5x(x-7)-(x-7)^2
      =(x-7){5x-(x-7)}
      =(x-7)(5x-x+7)
      =(x-7)(4x+7)

      となります。
      共通因数がx-7となるので、
      そこをくくってあげればよいです!

  6. アユ より:

    上記①の解答がイマイチ理解できません…!!
    どなたか解説してくれたら嬉しいです!! お願いします!!

    • 牧野史浩 より:

      >アユさん
      例題①に関してでしょうか?
      であれば下のようになります!

      例題①はx^2-y-x+xyという式ですが、
      まずx^2とxyのx、-yと-xの-1でくくります。
      x(x+y)-(x+y)
      そうすると、x+yが共通因数として出てくるので、これをくくれば・・・
      (x+y)(x-1)
      という答えが出てきます!
      ※-(x+y)=-1×(x+y)

  7. 匿名 より:

    おかげでわかるようになりました。ありがとうございます!

    • 牧野史浩 より:

      >匿名さま
      コメントありがとうございます!
      因数分解は一度分かってしまえばスラスラ解けると思います!
      その調子でがんばってください!

  8. レイ より:

    在米で高校生の子供の数学を手伝っています。私もむかしむかし中高で習ったという事は思い出せても、解き方やコンセプトをすっかり忘れていました。とても参考になるサイトの運営に感謝です。ブックマークしました。

    • 牧野史浩 より:

      >レイさん
      コメントいただきありがとうございます。
      とても嬉しいです!
      今後も分かりやすい解説を心がけて、様々な単元の説明をしていきたいと思います。
      よろしくお願いします。

  9. 修一 より:

    ab(a−b)+bc(b−c)+ca(c−a)の因数分解の仕方を教えて下さい。

    • 牧野史浩 より:

      >修一さん

      質問された因数分解は、

      ・たすき掛け

      という因数分解の解き方が分からないと解けません。

      また、こういった因数分解はまずは展開をして、

      ・1つの文字についてくくっていく

      というように解いていく必要があります。

      ab(a−b)+bc(b−c)+ca(c−a)
      =a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+ac^2-a^2c

      ※a^2bはaの2乗bという形ですので、間違えないように!

      以上の式をa^2 , aでくくると、

      a^2(b-c)-a(b^2-c^2)+b^2c-bc^2

      ここから、b^2c-bc^2はbcでくくれるので・・・

      a^2(b-c)-a(b^2-c^2)+b^2c-bc^2
      a^2(b-c)-a(b^2-c^2)+bc(b-c)

      となります。
      また(b^2-c^2)部分も、(b+c)、(b-c)と因数分解できるので、

      a^2(b-c)-a(b^2-c^2)+bc(b-c)
      =a^2(b-c)-a(b+c)(b-c)+bc(b-c)

      とできます。

      ここから共通因数の(b-c)で全体をくくると・・・

      (b-c){a^2-a(b+c)+bc}

      となります。

      a^2-a(b+c)+bcの部分は、たすき掛けで

      (a-b)(a-c)

      と因数分解できるので、

      (b-c)(a-b)(a-c)
      (a-b)(b-c)(a-c)

      となります。

      これを答えとしてもよいのですが、
      (a-b)(b-c)ときたら(c-a)とする方が自然とされているので、
      (a-c)を-でくくると、-(c-a)となります。
      ※a-b=-(-a+b)と同じ原理

      よって答えは、

      -(a-b)(b-c)(c-a)

      です。
      こちらの解答の方が、学校のテキストや問題集でも
      圧倒的に多いと思います。

      丸つけをする先生にもよるところはあると思いますが、
      後者の解答をしておいたほうが無難です。

      ちなみにこの問題は高校数学レベルの問題です。
      かなり学習が進んでいてすばらしいと思います!

      この調子で頑張ってくださいね♪

      • 修一 より:

        ありがとうございます。

  10. 相川 怜 より:

    項が5個ある時の因数分解の仕方を教えてください

    • 牧野史浩 より:

      >相川さん
      ご質問いただきありがとうございます!
      項が5個ある場合の複雑な因数分解の仕方は、
      問題を具体的に教えていただければアドバイスが出来ると思います。

      よろしくお願いします。

  11. まり より:

    すみません。
    この問題が分かりません。
    25X²-40Xy+16y²
    です!
    教えて下さい!

    • 牧野史浩 より:

      >まりさん
      因数分解をするんですかね?

      25x^2は5xを2回かけたもの
      16y^2は4yを2回かけたもの
      40xyは5xと4yをかけて2倍したもの

      上記のようにかんがえると、
      (5x-4y)^2

      と答えが出せます。

  12. たく より:

    (x−2)(x−6)−9 を因数分解せよ

    の解き方を教えてください。

    • 牧野史浩 より:

      >たくさん

      (x−2)(x−6)−9 を因数分解せよ

      についてですが、これは本当に因数分解せよ、という問題でしょうか?
      (x−2)(x−6)−9 の形から因数分解はできないので、展開しなければならいのですが
      (x−2)(x−6)-9=x^2-8x+12-9=x^2-8x+3 となります。
      しかし、ここからですと因数分解のしようがありません。

      一度問題をご確認ください。よろしくお願いします。

  13. もん より:

    (1)2x^2+xy-y^2-7x-y+6

    (2)a^2b+a-b-1

    解き方に加えて、解く手順なども教えてください。
    何から手をつけていいのかも分かりません。

    • 牧野史浩 より:

      >もんさん
      コメントありがとうございます。
      もんさんは私立中学生ですしょうか?
      ご質問された因数分解は高校1年生で学習するレベルの問題です。

      (1)は「たすきがけ」をしないと解けないと思います。
      (2)は共通因数をくくれば解けます。

      (1)2x^2+xy-y^2-7x-y+6=2x^2+x(y-7)-y^2-y+6
      =2x^2+x(y-7)-(y+3)(y-2)

      上の式をたすきがけして、

      =(x+y-2)(2x-y-3)

      (2)a^2b+a-b-1=b(a^2-1)+a-1
      =b(a+1)(a-1)+a-1

      a-1でくくると

      =(a-1)(ab+b+1)

      計算ミスが無ければ以上のような答えになると思います。
      もしあったらすみません。

      中学生でこの問題を解くのは難しいかもしれませんが、
      私立トップ校を目指したり、私立中学に通っているとすれば
      解かざるをえません。どうぞ頑張ってください!

  14. しき より:

    X²+5X(X+3Y)+6(X+3Y)²
    この問題の解き方を教えてください

    • 牧野史浩 より:

      >しきさん

      ご質問ありがとうございます。

      x+3y=Aとしてときますと、

      X²+5X(X+3Y)+6(X+3Y)²
      =x^2+5Ax+6A^2

      たすきがけして

      =(3A+x)(2A+x)

      ここまできたらx+3y=Aを置き換えなおして

      (3(x+3y)+x)(2(x+3y)+x)
      =(3x+9y+x)(2x+6y+x)
      =(4x+9y)(3x+6y)
      =3(x+2y)(4x+9y)

      上記が答えになるかと思います。
      計算ミスがあったらすみません。

      たすきがけをしないと解けないので
      はっきりいって高校レベルです。
      大変だと思いますが、頑張ってください!

  15. えい より:

    質問なのですが、(x-y)(x-y-2)-63の因数分解が分からないので教えていただきたいです。
    今年度の問題なので解答はないです。

    • 牧野史浩 より:

      >えいさん
      返信が遅れてしまってすみません!
      x-y=Aと考えると解きやすいです。
      A(A-2)-63=A^2-2A-63=(A-9)(A+7)=(X-y-9)(x-y+7)

      と答えが出てきます。

  16. ヒロセ より:

    質問です!
    xy+2y-2x-4

    の問題の解き方が分かりません。
    ぜひ教えて下さい!!

    • 牧野史浩 より:

      >ヒロセさん

      以下のように、共通因数をくくって計算すれば
      答えを出せます。

      xy+2y-2x-4
      =y(x+2)-2(x+2)
      =(x+2)(y-2)

      以上が解き方です!

  17. 匿名 より:

    学校の宿題で解けないものがあります。解き方を教えてください。
    Xの4乗+Xの2乗ぷらす1

    簡単かと思ったんですが、むずかしかったです。

    • 牧野史浩 より:

      >匿名さん
      返信遅れてすみません!
      中高一貫高か高校生の方ですか? 普通の中学生だとこのレベルは出題されない問題になっています。

      この問題は普通にやっても解けません。
      ですので無理やり因数分解できる形に持っていきます。
      どうするかというと、以下の形にします。

      x^4+2x^2+1-x^2

      こうすることで因数分解が出来るようになります。

      x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

      以上が答えとなります。

  18. 詩桜 より:

    質問失礼します!
    (x+5)(x-7)+27
    の因数分解ってどうやるんですか?

    • 牧野史浩 より:

      >詩桜さん
      コメント遅れてすみません!
      普通に計算してから因数分解すれば大丈夫です!

      (x+5)(x-7)+27=x^2-2x-35+27=x^2-2x-8=(x-4)(x+2)

      以上が答えです!

  19. かおりん より:

    a(x-1)-b(1-x)の因数分解ってどうするんですか?

    解けないです😭
    教えてください

    • 牧野史浩 より:

      >かおりんさん

      a(x-1)-b(1-x)は(1-x)の部分を-1でくくってあげます。
      (1-x)を-1でくくると、
      (1-x)=-(x-1)
      となります。
      ※-(x-1)=1-xとなるので計算は正しい。

      -1でくくると、
      a(x-1)+b(x-1)となるのであとは(x-1)でくくれば、
      (x-1)(a+b) となります。これが答えです。

  20. 薔薇 より:

    この問題を教えて下さい!
    次の式を因数分解しなさい。
    (a+b)^2-2(a+b)-24

    • 牧野史浩 より:

      >薔薇さん

      (a+b)^2-2(a+b)-24
      =(a+b-6)(a+b+4)

      以上が答えとなります。

      2乗の部分が(a+b)などになっていた場合は、
      Mなどの文字に置き換えて解くと簡単です。

      ご質問された問題であれば、

      a+b=Mとおくと、

      M^2-2M-24となります。これを因数分解すると、
      M^2-2M-24=(M-6)(M+4)
      となります。
      ここで、M=a+bなので、Mをa+bで置き換えると、
      (a+b-6)(a+b+4)

      という答えが出てきます。

  21. ぺぺ より:

    x^2+2ax-3a^2+4x+8a+3
    の解き方を教えてください

    • 牧野史浩 より:

      >ぺぺさん
      こんにちは。
      x^2+2ax-3a^2+4x+8a+3=(x+3a+1)(x-a+3)が答えではないでしょうか?
      この問題を解くにはたすき掛けを使用する必要があります。

      x^2+x(2a+4)-3a^2+8a+3の形にし、
      -3a^2+8a+3
      の部分をたすき掛けします。

      -3a^2+8a+3=(3a+1)(-a+3)

      となるので、

      x^2+(2a+4)x+(3a+1)(-a+3)

      上記の式をx^2と(3a+1)(-a+3)の部分でたすき掛けします。
      すると、

      (x+3a+1)(x-a+3)

      が答えとなります。

      間違っていたらすみません。

  22. uptown より:

    a^2(b−c)+b^2(a-c)+c^2(a-b)
    の因数分解を教えてください。
    答えはカッコが3つにカッコの中の項は2つらしいです

    • 牧野史浩 より:

      >uptownさん
      コメントありがとうございます。
      1点確認ですが、
      a^2(b−c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
      これが正しい式ではないですか?

  23. 天才 より:

    a2-b2-a+b

    が(a-b)(a+b-1)になるらしんですけど、

    なんで1が出てくるんですか????

    • 牧野史浩 より:

      >天才さん

      a^2-b^e-a+b
      =(a+b)(a-b)-(a-b)
      ここで(a-b)でくくります。
      (a-b)(a+b-1)

      これが計算方法です。
      -1は-(a-b)の(a-b)をくくったときに出てくる
      -1です。

  24. Louis より:

    xy+x+y+1を置換方法で因数分解をしたら、どうなりますか?

    • 牧野史浩 より:

      >Louisさん

      コメント遅れてしまってすみません!
      こうなると思います。

      xy+x+y+1=x(y+1)+y+1=(y+1)(x+1)=(x+1)(y+1)

      共通因数でくくってあげればしっかり因数分解できますよ!

  25. Louis より:

    ↑置換方法ではなかったです! 普通に因数分解するとどうなるか?
    という問題でした。 すみません
    解答、解説よろしくお願いいたします。

    • 牧野史浩 より:

      >Louisさん

      先ほど返答させていただきました!
      返信が遅れてすみませんでした!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。