【式の計算の利用】文字を使った図形の利用問題

数学58

式の計算の利用の単元では、文字を使った図形への応用問題が出題される。

図形への応用問題は、都立入試で出題されることもある大事な問題である。

 

このような問題を解くときには、図形の公式は最低限覚えておかなければならない。

 

中学校1年生と2年生で学習した公式をまず紹介した後、

文字を使った図形の利用問題の解き方をご紹介する。

 



 

主な図形の公式



以下の図形の公式は必ず覚えておこう。

 

『円』

半径をr、面積をS、円周の長さをℓとすると、


ℓ=2πr

 

 

『おうぎ形』

半径をr、中心角a°のおうぎ形の弧の長さをℓ、面積をSとすると、

『立体の体積』

角柱、円柱の底面積をS、高さをh、体積をVとすると、

V=Sh

・角錐、円錐の底面積をS、高さをh、体積をVとすると、

・半径rの球の体積をV、表面積をSとすると、

となる。

以上の公式は入試でも使う非常に重要なものばかりである。

しっかりとすべて暗記して自分で使えるようにしておこう。

図形への利用

次のような問題を解くときに、文字を利用して解くことが出来る。

問題

上の図のように、半径r㎝の円Aの円周上に、直径a㎝の円Bが接している。

円Bが円Aに接したままこの円Aの周上を一周する。

このとき、円Bの中心Bが描く線の長さをℓ㎝m円Bが通過した部分の面積をS㎠とすると、

S=aℓが成り立つことを示せ。

こういった問題は、都立入試でも入試されることがあるので自分で解けるようにしておきたい。

まず、円Bの中心Bが描く線の長さℓを求めよう。

これは、図で表すと次のような線となる。

これは、円Aの直径に、円Bの直径aを足した円の円周の長さと一致する。

※円Aの直径2rにa/2を2つ分足す

よってℓの長さは、直径×πで求まるので、

ℓ=π(2π+a) ・・・①

となる。

次に円Bの通過した面積Sを求める。

これは図に表すと、

の黄色い部分となるので、

大きい円から円Aの面積を引くと、

となる。

ここで、証明したいのはS=aℓとなることである。

Sはπa(2r+a)となった。

①のℓは、ℓ=π(2r+a)となっているので、

①の両辺にaを掛けると、

aℓ=πa(2r+a)・・・①’

となるので、

①’=②となるので、

S=aℓ

の証明はできたことになる。

以上で解答は終了である。

いかがだっただろうか?

この図形への利用問題は非常に難しいので理解は難しい。

しかし実際の入試ではこういった問題が普通に出題されるので自分で解けるようにしておこう。

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