【式の計算の利用】中学3年数学の整数の性質の証明問題とは?

数学58

 

式の計算の利用の分野で最後に学習するのが、

 

「整数の性質の証明問題」

 

である。

 

中学2年生で学習したものよりも、中3で学習するものの方が少し難しくなっている。

しかし基本は中2で学習したことと変わらないのでしっかりマスターしておこう。

 



 



整数の性質の証明

 

以下のような問題が中3数学式の計算の利用の整数問題の代表例である。

 

問題

 

連続する2つの偶数の平方の差は、4の倍数であることを証明せよ。

 

このような問題を解くには、

 

①問題文の指示通りに数を表す。

②問題文の通りに式を解く

 

以上のように解けば自然と答は導ける。

 

 

問題を解くときのポイントとしては、言葉の意味をしっかりと理解しておくことなので、

以下の言葉の意味はしっかりまずは覚えておこう。

 

平方・・・その数を2乗したもの

和・・・たし算

差・・・ひき算

積・・・かけ算

商・・・わり算

 

以上の言葉は最低限覚えておこう。

 

 

具体的な解法

 

 

では早速問題を解いていこう。

 

基本的に偶数は、

 

2n

 

と表し、奇数は

 

2n-1

 

と表せばよい。



今回は連続する2つの偶数の和なので、

小さい方の偶数を2n、大きい方の偶数を2n+2とする。

 

この2つの偶数の平方の差は、

 


 

となる。

 

ここで、2n+1は整数なので、

 

4×整数

 

という形となるので4の倍数となることが分かる。

以上より、連続する2つの偶数の平方の差は4の倍数である。

 

と証明できる。

 

いかがだっただろうか?

 

以上のように自分で文章を作って証明出来たら最高である。

まずはしっかりと文章通りに文を作れるように頑張っていこう。

 

以下に例題を用意しておくので、自分で解いてみるといいだろう。

 

 

例題

 

連続する2つの奇数の積に1を足した数は、偶数の平方になることを証明せよ。

 

 

 

解答



連続する2つの奇数のうち、小さい方を2n-1、とすると大きい方を2n+1と表せる。

 

この2つの奇数の積に1を足した数は、

 


 

となる。

 

2nは偶数であるので、

連続する2つの奇数の積に1を足した数は偶数の平方になる。

 

証明終わり

 

【式の計算の利用】中学3年数学の整数の性質の証明問題とは?” への4件のコメント

  1. 匿名 より:

    めっちゃ分かりました! 
    ありがとうございます👍

    • 牧野史浩 より:

      >匿名さん

      コメントありがとうございます!
      お役に立ててよかったです!!
      今後も何かあれば是非当サイトをご活用くださいね!

  2. ゆきち より:

    凄い分かりやすかったです

    • 牧野史浩 より:

      >ゆきちさん

      コメントありがとうございます!
      そういっていただけるとうれしいです!
      整数の性質の証明は難しいですし、入試にも出る非常に重要な単元です。
      解き方を忘れずにこれからも頑張ってください!

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