【平方根の求め方】平方根の意味と表し方

数学81

3年生で学習する中学数学の中で、つまづき易い分野の中の1つが

 

「平方根」

 

である。

 

平方根と聞いただけでは「?」、となるかもしれないが、

1つ1つしっかりと定義・意味・表し方などをマスターすればそれほど難しくはない。

確実に理解していこう。



 

平方根の意味と表し方

 

平方根とは以下のようなものである。

 

平方根とは、「2乗するとaになる数」、つまり





 

 

 

 

を成り立たせるxの値をの平方根という。

 

例えば、9の平方根を求めろ、と出題されたとする。

 

このときの答えは、±3である。

 

なぜなら、

 

3×3=9、(-3)×(-3)=9

 

と解答できるからである。

※3と-3を2乗すると9になるから。

 

同じように解いていけば、

16の平方根は4と-4、25の平方根は5と-5となる。

 

また、ふつう平方根の値を求める時は、+と-を合わせて

 

「±」

 

で合わせるので、16の平方根±4,25の平方根±5となる。



2乗して負になる数はない。(高校数学で虚数を習えば別)

よって負の数の平方根は考えなくてよい。

もし、-9の平方根を求めよ、と出題されたら「なし」と答えればよい。

 

整数で表せない時は√(ルート)を使う

 

ただ、

 

3の平方根を求めよ、

 

というときは先ほどの計算方法では求められない。

 

なぜなら整数の範囲では2乗して3になる数はないからだ。

ではどうするかというと、

 

「√」

 

という根号を使って表せばよい。

 

√には性質があり、

 

「√の中が同じものを2つかけると、√の中の整数となる」

 

というものだ。

 

これを利用すると3の平方根も求められる。



3を表す整数はないので、√を使って考えると、

 

√3×√3=3

(-√3)×(-√3)=3

 

と平方根を求めることが可能になる。

 

よって3の平方根は±√3、が答となる。

 

同じように、

 

15の平方根は±√15、5の平方根は±√5

 

と答えることが出来る。

 

いかがだっただろうか?

以上のような平方根の意味と表し方は、中学数学の平方根の分野では基礎中の基礎となる

非常に大事な分野だ。

 

しっかりと復習して平方根の意味を理解していこう。

 

 

【平方根の求め方】平方根の意味と表し方” への52件のコメント

  1. より:

    5の平方根は±√15となっていますが

    • 牧野史浩 より:

      >あさん

      ご指摘ありがとうございます。
      修正させていただきました!

  2. 匿名 より:

    ありがとうございます!、

    • 牧野史浩 より:

      ご覧いただき、ありがとうございます!

  3. 悩める受験生 より:

    始めまして。
    つまずいて居たところだったので助かります!

    √3×√3=3と言うことは

    √8=√8=8

    √1900×√1900=1900

    みたいに、全部同じになるんですか?

    • 牧野史浩 より:

      >悩める受験生さん

      仰る通りです。
      同じ√どうしを掛けたら、√の中の数になるので、
      √10×√10=10、というようになりますね。

  4. 中3のなー より:

    ありがとうございます。
    授業についていけそうです。

    • 牧野史浩 より:

      >中3のなーーさん
      コメントありがとうございmす!
      お役に立ててよかったです!

    • 牧野史浩 より:

      >あんずさん
      √4=√2×√2なので、
      答えは2となります。

  5. 小林 由佳 より:

    2√3(√3-√5) の答えを教えてください?
    子供に教えられないんです!

    • 牧野史浩 より:

      >小林さま
      2√3(√3-√5)=
      2√3×√3+2√3×(-√5)
      =2×3+2√3×(-√5)
      =6-2√15
      が答えです!

      • 困った受験生 より:

        2√3(√3-√5)の回答で
        =2√3×√3+2√3×(-√5)
        とありますが、
        a(b-c)=ab-ac
        なので
        ()をはずした時
        =2√3×√3-2√3×√5
        にはならないのですか?

        • 牧野史浩 より:

          >困った受験生さん

          コメントされた通りの解き方で何も問題はありません。

          (  )の中身に一つずつかけるよ~
          ということをしっかりと説明するために

          2√3×√3+2√3×(-√5)

          としただけで、結局上の式を解けば、

          2√3×√3+2√3×(-√5) =6-2√15

          と正しい答えが出てきます。

          もちろん

          2√3×√3-2√3×√5

          としても

          2√3×√3-2√3×√5=6-2√15

          と同じ答えが出てくるのでもちろん正解です。

          つまりどちらの解き方でも答えは同じになるので
          解答するだけであれば何の問題もありません。
          ※気になるようであれば公式どおり解いてもらえば構いませんが、
          どちらで解いても特に問題はないかと思います。

  6. 小林 由佳 より:

    あと(√3+2)(√3-2) の答えも教えてください

    • 牧野史浩 より:

      >小林さん
      (√3+2)(√3-2)に関しては、乗法公式の
      (x+a)(x-a)=x^2-a^2
      を使えば解答可能です。
      ※一つずつ掛けて展開しても構いません!

      (√3+2)(√3-2)
      =√3×√3-2×2
      =3-4
      =-1

      が答えです!

  7. 受験生 より:

    ありがとうございました。分からなかったところが分かりました。ありがとうございました

    • 牧野史浩 より:

      >受験生さん
      いえいえ^^
      今後も分からないところがありましたら、
      どんどん当サイトを活用してくださいね^^

  8. テストいやだ より:

    平方根とは関係ないのかもしれませんが
    xの2乗=256の時
    xの求め方が、分からなくて困ってます。 

    この時ルートは使いませんか?

    • 牧野史浩 より:

      >テストいやださん
      256は16の2乗です。
      平方根とは2乗するとその数になるものをいいます。
      xの2乗=256であれば、xを2回かけたら256になるものなので、
      x=±16
      が答えとなります。
      15の2乗=225 17の2乗=289
      などは暗記して覚えておいたほうがいいですよ^^

  9. うんり より:

    おかげで、平方根の事をより理解することが出来ました!
    ありがとうございます(*´◒`*)

    • 牧野史浩 より:

      >うんりさん
      お役に立てたみたいで嬉しいです!
      今後も学習を頑張ってくださいね^^

  10. 入試が近い人 より:

    √7とかを整数になおす方法を教えて下さい

    • 牧野史浩 より:

      >入試が近い人さん
      √7を整数に直す方法としては、同じ√7を掛けることです。
      √7×√7=7
      となります!
      同じ√同士を掛ければ、√の中の数が外に出てきます。

  11. 受験生 より:

    とてもわかりやすかったです!

    • 牧野史浩 より:

      >受験生さん
      ありがとうございます!
      いつも当サイトをご覧頂いているみたいで、
      本当にありがとうございます!
      受験も頑張ってください!

  12. 受験生 より:

    とても分かりやすかったです!

    • 牧野史浩 より:

      >受験生さん
      コメントありがとうございます!そういっていただけると本当にうれしいです^^
      今後も何かありましたら当サイトをご活用されてください!

  13. 困った受験生 より:

    ありがとうございます!!
    もしかしたら途中式で間違いになってしまうのかも?と思ったので、安心しました。

    • 牧野史浩 より:

      >困った受験生さん

      そうだったんですね!
      何も心配しなくて大丈夫ですよ!
      ご自身の解き方に自信をもって頑張ってくださいね♪

  14. k. より:

    -√2の-とはなんですか?

    • 牧野史浩 より:

      >k.さん

      -√2の-を理解するには

      2√3

      といった数の意味を理解することが必要です。

      2√3であれば、2×√3 の×が省略された形です。

      つまり2√3=2×√3

      を意味します。

      -√2は、-1×√2 の×が省略された形、
      つまり -√2=-1×√2
      を意味します。

      なぜ-1の1の部分がないかというと、
      -1×x=-1x 
      と表さないのと同じように、

      -1×√2=-1√2

      としないからです。

      まとめると、

      -√2=-1×√2

      という数で、

      ・×は省略
      ・1は省略

      されるので、-1×√2=-√2

      となります。

      分かりにくかったら申しわけありません。
      ただ、この部分については特に気にしなくても問題ありませんので、ご心配なさらずに!

  15. なっちゃん より:

    √2÷√7×√5のやり方教えてください!

    • 牧野史浩 より:

      >なっちゃんさん

      √2÷√7×√5は平方根の計算で、基本的には
      四則計算どおりに計算します。

      √2÷√7×√5=√2×1/√7×√5
      =√10/√7  (√7分の√10)

      とここまでまずは解きます。

      ここから、分母にルートがある場合は、
      「有理化(分母の√の数を分母と分子にかけること」
      をしなければならないので、
      今回は分母と分子に√7をかけます。

      √10/√7=√70/7  (7分の√70)

      が答えとなるはずです。
      有理化と計算がしっかり出来ればルートの計算も出来ると思うので
      頑張ってください!

  16. おさる より:

    √80×√12がわかりません!

    • 牧野史浩 より:

      >おさるさん
      √80×√12=4√5×2√3=8√15
      が答えとなります。
      乗除の計算は√の中身を簡単にしてから
      計算するとときやすくなります。

      • nobu より:

        √80がなぜ4√5になるのでしょうか?

        • 牧野史浩 より:

          >nobuさん

          80=2×2×2×2×5
          となるので、

          √80=√2×√2×√2×√2×√5=4√5
          となります。

  17. 受験生 より:

    初歩的なものですが
    3√2-2√2などの計算は√の前の数字を計算するのか √の中の数字を計算するのか教えていただけると有難いです

    • 牧野史浩 より:

      >受験生さん
      コメントありがとうございます!
      平方根の加減計算は、√の中身が同じときは、かかっている数(√の前の数)を計算すればよいです。
      文字式の計算とやり方は同じです。
      3√2-2√2=√2
      3x-2x=x
      以上のように解けば答えが出せます!

  18. 脳内小4受験生 より:

    0の平方根を求めなさいと言われたらどうすればいんですか…?(´つヮ⊂)

    • 中学3年たいぴーっす より:

      脳内小4受験生さんその平方根は0ですよ❗️0×0=0ですからね。これは覚えた方がいいと思います!

  19. 受験生 より:

    √の中身を小さくする方法を分かりやすく教えて欲しいです。
    例えば3√6の3が良くわかりません。

    • 牧野史浩 より:

      >受験生さん

      3√6の3は、√54=√9×√6=√3×√3×√6=3√6 となったときの√9(√3×√3)のことです。
      基本的にルートの中身を小さくするには、√の中身を素因数分解して考えればよいです。

      例:√18=√2×√3×√3=3√2

      このように√の中身を小さくしたかったらまずは√の中身を素因数分解することから始めてくださいね。

      • 受験生 より:

        返信ありがとうございました!
        素因数分解までは分かったのですが、その後どうすれば良いのか悩んでいました。
        つまり、√3×√3×√2というのは、√3×√3が3で3×√2が3√2になると言うことでいいですか?
        つまり√80は√2×√2×√2×√2×√5で、√2×√2が2で√2×√2が2で2×2×√5が4√5ということでしょうか?
        凄くスッキリしました!
        ありがとうございます!

        • 牧野史浩 より:

          >受験生さん
          いえいえ!
          おっしゃるとおりで、同じ√の数をかけると√の中身が外にでます。
          √2×√2=2となります。

          すっきりしたのであればよかったです!
          これからもよろしくお願いします!

  20. ひろりん より:

    明日が中3の息子の前期末のてすとなんですが、平方根が、全く理解に苦しんでいます。一晩では、どうにも、難しいと思いますが、どんなことに力を入れて、どういう風に理解させたりいいでしょうか

    • 牧野史浩 より:

      >ひろりんさん

      コメントありがとうございます。
      かなり切羽詰っているようで、返信が遅れてしまいすみません。
      あと一晩で全て出来るようにするのははっきりいって無理です。
      なのでここから取れる戦略としては、

      ・現時点で理解できる&自分で解ける問題を確実に解けるようにする
      ・理解は捨てて徹底的に暗記する

      これしかないです。

      理解の部分を一日で完璧にするのは無理ですから、
      とにかく暗記させて一問でも解けるようにするという他ないと思います。

      以上です。

      コメントの返信はすぐに出来ないので、
      もし何かご質問などありましたら、もう少し余裕を持ってコメントいただけると幸いです。

      よろしくお願いします。

  21. 受験生。。 より:

    次の平方根をルートを使って表しなさい

    7

    とあるのですが教えていただけますか?

    • 牧野史浩 より:

      >受験生。。さん
      ご質問いただいた問題ですが、
      「次の数をルートを使って表しなさい」の間違いではないですか?
      これであれば 7=√49 となるので答えは√49となります。

  22. 課題山積み より:

    宿題で平方根についてのレポートが出たので参考にさせていただきました!とてもわかりやすくて助かりました!

    • 牧野史浩 より:

      >課題山積みさん

      コメントありがとうございます!
      宿題で平方根のレポートなんて出るんですね・・・すごい大変そうですね!
      お役に立てたようでよかったです! 今後も勉強頑張ってくださいね!

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