【平方根の計算】根号を使った式の値の求め方②~乗法公式の変形~

数学97

 

今回は前回と同じ式の値について詳細に紹介していく。

前回と違い、今回は乗法公式を使っての式の値の求め方を勉強していく。

 

問題によっては乗法公式を変形させる問題も出題されるので難しく感じるが、

慣れてしまえば解答は簡単になるのでしっかり理解していこう。

 

 



 

 

複雑な式の値の2つの求め方



複雑な式の値を求めるには、基本的には2つのパターンをおさえてしまえばよい。

以下の2パターンはしっかり覚えておこう。

 

 

①乗法公式を使って求める。

x=√3+1、y=√3-1のとき、

 


 

の値を求めよ、という問題が出題されるとする。

 

こういった時はそのまま代入してももちろん答えは導けるが、

乗法公式を使って解く方がはるかに簡単である。(

 


 

という形に変形して、あとはxとyの値を代入するだけなので、


 

という解答を導くことができる。

 

②乗法公式の変形

 

x=√3+1、y=√3-1のとき、

 


 

の値を求めろ。

 

a=√7+√3、b=√7-√3のとき、

 

の値を求めろ。

 

x=√2+1、y=√2-1のとき

 


 

の値を求めろ。

 

①~③の問題だが、すべて代入すれば答えを求めることは可能である。

ただ、そうすると非常に時間かかるだけでなく、正確性も落ちてしまう。

 

こういった問題を解くときには、乗法公式の変形、を使うかなり楽に計算が可能だ。

 


 

の形だが、これは

 


 

と変形できる。

 

なぜなら、上の式を計算すると、

 


 

の形に戻すことができるからである。

 

関係をまとめると以下の通りとなる。

 


 

以上から




 

こういった形に変形できるので、上記の式にx=√3+1,y=√3-1を代入すると、

 


 

という答えを導くことができる。

 

次に、

 

a=√7+√3、b=√7-√3のとき、

 

の値を求めろ、という問題の解き方を解説する。

 

この問いも値を直接代入すれば答えは求められるが、

 


 

という形に変形できる。

 

この形にして、xとyの値を代入すればよい。

 


 

と解答できる。

 

最後に、

 

x=√2+1、y=√2-1のとき

 


 

の値を求めろ、という問題も乗法公式を変形させて計算する。

 


 

と変形が可能である。






よってあとはxとyの値を代入すればよいので、

 


 

となる。

 

 

いかがだっただろうか?

 

 

今回解説した式の値の求め方をマスターすれば、

定期テストレベルの問題は解答可能である。

 

確実に覚えてできるようにしていこう。

 

 

 

 

 

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