【二次方程式】【発展】2次方程式の定数を求める計算方法②~解と係数の関係~

sugaku124

今回は二次方程式の定数の求め方を引き続き学習していくのだが、

解と係数の関係について学んでいく。

解と係数の関係は普通の学習指導要領では、中学生で学ぶことはない

なぜなら単元的には高校生内容となるからだ。

以上の理由から、別にこの記事を読んで学習する必要はない。

ただ、トップの国立・公立・私立校に合格したい!というのであれば知っておいて損はない。

志が高い場合は是非学んで、自分の武器の一つとして身に着けていこう。

解と係数の関係



解と係数の関係とは以下のようなものである。

 

kaitokeisuunokannkei

 

以上のようなものである。

これを覚えておくと二次方程式の難問に関しても、解法が可能である。

では実際に解と係数の関係を用いて問題を解いてみよう。

※解と係数の関係については、2次方程式でしか使えないので注意すること!

また、基本的に解と係数の関係を使って解くのは、代入して定数を求められないときだけである。

代入して求められるのであれば、普通に解いていこう!

 

例題

mondai1

上の問題は、普通にx=1を代入して解いてもいいが、ここでは解と係数の関係で解くことにする。

 

一方の解がx=1,と分かっているので、もう一方の解をx=βとする。

(別にαでもなんでもいい)

すると解と係数の関係で以下の関係が成り立つ。

 

mondai1

 

となる。

(ただ単に解と係数の関係に当てはまる数を代入しただけ。

ここではa=1 b=-1 c=a^2-7となる)



ここから、下の式のβの式を上のβに代入すると、

mondai2

とaの値を求めることが出来る。

a>0 ,  という条件があるから、

a=3と決められる。

あとはこのa=3を 1+β=aの式に代入すると、

 

1+β=3 ⇔ β=3-1 ⇔β=2

 

と求められる。よってもう一つの解をx=2 , と定めることができる。

 

以上のように解と係数の関係を使って答を導くことも可能である。

(普通に代入して解ける場合は、そっちで解いた方が正確!!)

 

いかがだっただろうか?

解と係数の関係を極めれば自分の力でも数学の難問にチャレンジすることが出来る。

向上心がある場合は覚えておこう!

 

以下に実戦問題を出しておくので、是非解いてみよう!

 

 

 

実戦問題

mondai3

 

 

 

 

以下解法。



小さい方の解をα (小さい方の解)とすると、大きい方の解は4α (大きい方の解)とおける。

ここから解と係数の関係で、

 

mondai4

 

となる。ここで、まずαの値を求めると、

 

mondai5

 

あとはα×4α=2mに出てきた大きい方と小さい方の解を代入すると、

 

mondai6

 

と解答を出すことが出来る。

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