今回からは二次方程式の分野の中でも多くの中学生がつまづいていく、
利用の問題について触れていく。
利用の問題は大きく分けて「数」、「面積」、「動点」、「1次関数との融合」
の4つの単元がある。本記事ではその中の数についてみていこうと思う。
数の単元に関しては、他の3つの問題に比べると取り組みやすいので、
まずは数についてしっかり理解していこう。
方程式の基本の確認
2次方程式の利用を解くには方程式とは何かをしっかり理解しておく必要がある。
以下に方程式の基本のポイントをのせておくので、まずはこれをしっかり覚えよう。
方程式のポイント
①左辺と右辺は必ずイコールの関係になる
例：3+4=7 → 左辺＝3＋4＝7 右辺＝7 よって左辺と右辺は等しい
②左辺と右辺の単位に気を付ける
例：左辺は数に関しての式を作ったとしても、右辺が距離の式だったらその方程式は成り立たない。
左辺が数に関しての式だったら、右辺も数に関しての式を作る。
③文章中に問題を解くヒントがあるので、必ず問題文を理解してから立式する
④分からなくなったら具体的に考える
例：xを使わずに50や100など具体的に数を入れて考える。
以上の4つがポイントとなる。
必ず覚えて問題に臨むようにしよう。
2次方程式の数に関する利用問題
それでは早速利用の問題について解いていこう。①ある正の数xに5を加えた数の2乗は49である。xの値を求めよ。
いきなり問題を解こうと思っては間違えてしまうので、
まずは整理していこう。
・xに5を加えると、x＋5になる。
・x＋5を2乗したもの＝49になる
ということなので、これをもとに立式すると、
となる。
これを解くと、x＝2が答となる。
※式を解いていくと、x＝2 , －12 の2つの答えが出てくるが、
「ある正の数」と問題文にあるので、x>0でなければならない。よって答はx＝2である。
②大小2つの正の整数があり、その差は7である。
この2数の積が30であるときこの2つの整数を求めよ。
この問題に関しては、
「大きい方をxとして、小さい方をyと置いて連立方程式で解いていこう！」
という発想で問題を解いてまったく構わない。
ただ、二次方程式の分野になるので二次方程式で立式を考えてみよう。
問題を見ると、差が7とある。
これは、「大きい数－小さい数＝7」、ということである。
ということは、小さい数をxとすると、大きい数はx＋7と表すことができる。
※大きい数をxとして、小さい数をx－7としてもよい。
あとは問題文の通り、
・2数の積＝30 ⇔ x×(x＋7)＝30
と立式して、x×(x＋7)＝30 を解けば終わりである。
この式を解くとx＝－10, 3と解答が出てくる。
ここで、x>0なので、x＝3と定められる。
この時点で、「じゃあ答3だ！」と喜んではいけない。
問題には、「大小2つの正の整数を求めよ。」とあるので、
大きい整数と小さい整数を求める必要がある。
先程、小さい整数をxとおき、大きい数をx+7と置いたので、答は、
小さい数は3 , 大きい数は10
となる。
③連続する3つの正の整数がある。小さい方の2数の積の3倍は、大きい方の2数の積の2倍より36大きい。
このときの3つの整数を求めよ。
まず連続する3つの整数とは何か、ということを考えたい。
2 ,3 ,4 5, 6, ,7 8, 9, 10
こういったのが連続する3つの整数である。
3つの数には規則性があり、
・真ん中の数から1を引いたら連続する3つの一番小さい数
・真ん中の数に1を足したら連続する3つの一番大きい数
になることである。
※2＝3-1 , 3 , 4＝3+1
ここで、真ん中の数をxとすると、
一番小さい数はx-1 , 一番大きい数はx+1と置ける。あとは問題文を読み解き、式を立てるだけである。
問題文には、
「小さい方の2数の積の3倍は、大きい方の2数の積の2倍より36大きい」
とあるので、まずはこれらをxを用いて表す。
①小さい方の2数の積の3倍は、
x×(x-1)×3 と表せる。(小さい方の2数とは、x-1とxを意味している。)
②大きい方の2数の積の2倍は、
x×(x+1)×2と表せる。(大きい方の2数とは、xとx+1を意味している。)
あとは、①の方が②より36大きいと式を作るだけなので、
x×(x-1)×3＝x×(x+1)+36
となる。あとはこの式を解くと、x＝9 , -4となる。
x>0なのでx＝9となる。
xは真ん中の数なので、あと2つの数を求めると答は、
8 , 9 , 10
となる。
いかがだっただろうか。
今回解いていった問題が2次方程式の利用の数に関する問題の典型である。
こういった問題は、問題文を正確に読み解いていけば割と簡単に解けるので、
得意分野にしていこう！