【二次方程式】面積・体積に関する2次方程式の利用問題の攻略のポイントとは?

sugaku128

今回学習していくのは、二次方程式の利用問題の中の

面積や体積に関する利用問題である。

一見難しいそうに見えるが、理解してしまえばこれらの問題も割と得点源になりうる。

しっかりと学び、自分の力にしていこう!


 

面積・体積の求め方



二次方程式の利用で面積、体積を求めろ!、問われても、

そもそも公式を覚えていなければ話にならない

なのでまずはしっかりと公式を覚えていこう!

 

mondai1

 

以上の公式はどれも習ったことがあるものばかりなので、

最低限頭に入れておこう!

(基本的に面積・体積の利用の問題に関しては、

四角形の面積と直方体の体積を問われる問題が定期テストレベルではほとんど)

 

面積・体積問題攻略のポイント

それでは実際の問題を見ていきながら、攻略のポイントを紹介していこう。

典型的な面積と体積の問題を4題紹介する。

 

①ある正方形の一方の辺を1cm短くし、もう一方の辺を7㎝長くして長方形を作ったところ、

長方形の面積が、元の正方形の面積の2倍より2㎠小さくなった。もとの正方形の一辺の長さを求めよ。

 

こういった問題を解くときに問題を読んだだけでは分からない部分も多々ある。

なので解法のポイントとしては、図を描いて考えることをしていこう。

求めたいのは元の正方形の一辺の長さだから、

元の正方形の一辺の長さをxで表すと、以下のような図が表せられる。

 

mondai2

 

あとは問題文の通りに式をxを使って表せば終わりである。

問題文を読み解くと、

 

「新しく作った長方形の面積が、元の正方形を2倍したものより2㎠小さいよ!」

 

と言っているので、これから式を作る。

すると、

 

mondai3

 

式が立てられるのでこれを解くと、

x=5 , 1

と値が出てくる。

じゃあ答は5と1だ!、と焦ってはいけない。



新しく作った長方形の一辺の長さは(x-1)で表している。

もしx=1を代入してしまったら、一辺の長さが0となる。

すると図形は存在できなくなるので、x>1でなければならない。

(xは1より大きいですよ、という意味)

よってx=5と決定できる。ゆえにもとの正方形の長さは5㎝となる。

 

 

②横の長さが縦の長さの4倍である長方形があり、この長方形の面積が36㎠である。

縦と横の長さを求めよ。

 

この問題に関してもまずは図を描いて考えよう。

横の長さが縦の長さの4倍であるということから、

縦の長さをxと置くと、横の長さは4xと置くことが出来る。

すると式もきちんとおける。

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あとはこれを解くと、x=±3 , となる。

ここでx>0 (xが0より大きくないと図形が存在できない)なので、

x=3と決まる。

よって縦の長さは3㎝,横の長さは12cmと求められる。

 

③周りの長さが28㎝で、面積が48㎠の長方形がある。

縦と横の長さを求めよ。

 

多くの生徒がこの問題を解くときに、

「縦と横の長さをどのように表せばいいのか?」

というように困惑する。

 

ただ、図形の性質をしっかりと理解しておけばそれほど難しい事ではない。

まず、長方形(正方形)とは、

 

「縦+縦+横+横=まわりの長さ」

 

ということである。

さらに、

「縦+横=まわりの長さの半分」

となる

例として、縦3㎝、横5㎝の長方形を見てみよう。

mondai5

 

以上から問題を考えてみる。

 

問題文から、周りの長さが28㎝なので、

縦+横=14㎝

となる。



ここで、縦の長さをxと置くと、

横の長さは14-xと置くことができる。

(例えば縦と横の長さを足したら14㎝とする。

ここで縦が5㎝だったら、横の長さ=14-5=9と定められる。)

 

あとは、

x×(14-x)=48

(縦×横=48 , と言う意味)

の式を解いていけばいいだけである。

 

解くと、x=6 , 8 となる。

ここで、xは縦の長さとなるので、

x>0・・・①でなければならない

また、横の長さが14-xとなるので、

この長さも14-x>0 ⇔ -x>-14 ⇔ x<14・・・②

となる。

あとは①と②の範囲を合体させると、

0<x<14

とxの範囲を定められる。

以上の範囲にx=6,8 は当てはまるので、

縦の長さが6㎝のとき , 横の長さが8㎝ 

縦の長さが8㎝のとき, 横の長さが6㎝

が答となる。

 

④横が縦より5㎝長い長方形の金属版がある。

この板の四隅から一辺が8㎝の正方形を切り取り、直方体の容器を作ったところ、

容積が2400㎤となった。金属板の厚さを考えないものとして、

もとの金属板の縦と横の長さをそれぞれ求めよ。

 

これくらいの問題が解けると基本的な定期試験レベルの

問題は解けると思ってよい。

 

まず容積とは、体積のことである。

なので、体積=2400

という方程式を最終的には解いてもとの金属板の縦と横を導けばよい。

 

求めたいのは金属板の縦と横であり、

縦の長さをxとすると、横の長さは縦より5㎝長いのでx+5と置ける。

 

ここで、問題文を整理しつつ、それを図に表すと以下の図を表せる。

 

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四隅を切り取って直方体を作るので、

底面積と高さが必要になる。

(直方体の体積=底面積×高さ)

 

ちなみに直方体とは、

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こういった図である。

問題の金属板から出来る直方体は、

上の直方体の上の底面が無い形となる。

 

さて、底面積を求めるためには、

底面の縦と高さが必要である。

底面の縦は、金属板の縦の長さから切り取った8㎝の長さを2つ引く、

底面の横は、金属板の横の長さから切り取った8㎝の長さを2つ引く

ことで出てくる。

そしてあと直方体の高さであるが、これは切り取った8㎝の部分がそのまま

直方体の高さとなる。

 

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※上の図を点線部分で折り曲げていくと、箱の形になる。

 

あとは、

 

(x-11)×(x-16)×8=2400

 

という式を解けばよい。

すると、x=31 ,-4と出てくる。

ここで、底面の図に注目すると、

縦の長さがx-16 ,横の長さがx-11である。

長さは必ず0より大きくなるので、

x-16>0 , x-11>0 が成り立たなければならない。

これを解くと、x>16 , x>11となり、

x>16に当てはまった答でなければならないことが分かる。

(x>16はxが16より大きいという意味なので、

x>11を含む形になる。)

 

よって求める答は、縦31㎝ , 横36㎝となる。

 

いかがだっただろうか。

今回ご紹介した問題が解けるようになれば、

基本的な問題は解けるはずである。

 

ポイントをしっかりと押さえて、得意単元にしていこう。

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