【二次方程式の利用】図形の点の移動に関する問題~動点問題の解き方の攻略~

sugaku129

今回は二次方程式の利用問題の中で特に苦戦をする、

「図形の動点の問題」

について解説をしていく。

動点問題は、定期テストや各都道府県の入試問題にも出題されるのだが、

理解しづらい点が多く、苦手にしている生徒が多い。

だが、解き方さえ理解してしまえば一気に得点源となり得て、

しかも他のライバルに差をつけられる単元である。

しっかりと学習し、得意単元にしていこう!

 動点問題の前提



どの方程式の問題に関しても当てはまるのだが、

動点問題でどう解けばよいか分からなくなった場合、

 

・「具体的に数値を代入して考える」

・「図を描いて考える」

 

ようにしていこう。

方程式問題は、「x」などの文字で式を作成していくのだが、

文字で考えるためどうしてもわからなくなることがある。

 

このとき、

「x=1」として考えると・・・になる。

「x=2」として考えると・・・になる。

というように具体的に数を当てはめると法則がつかめることがある。

 

また、図を描いて考えるのは基本中の基本だが、

問題にある図を用いても、自分で図を描いてもどちらでもいいので、

「頭だけでなく図をみて考える」

ようにして問題を解いていこう!

 

それでは問題を見ていこう。

 

動点問題①

下の図のように、一辺12cmの正方形ABCDの辺AB,AD上に2点P,Qがあり、

PとQはそれぞれAからB, DからAに向かって毎秒2㎝の速さで動くものとする。

2点P,QがA,Dを同時に出発してx秒後のAP,AQを2辺とする長方形を考える。

このとき、AP,AQを2辺とする長方形の面積が32㎠となるのは、P,Qが出発してから何秒後か。

mondai1

この問題を解くときにまず考えるべきなのは、

 

APとAQの長さをどう表す

 

ということである。

 

問題は、長方形の面積が32㎠となるのは何秒後か、ということを聞いているので、

APとAQの長さを表せさえすれば、

 

縦×横=長方形の面積

 

という公式を使って答は導き出せる。

 

ここで、PとQは1秒で2㎝ずつ進む。

1秒で2㎝、2秒で4cm、3秒で6㎝、4秒で8㎝・・・・と2㎝ずつ進むことが分かるので、

AP=2x , DQ=2x

とそれぞれ表すことが出来る。

※x秒後、とあるので、x=1、x=2などを代入すると、

それぞれ正しい長さを表すことが分かる。

 

APをxを用いて表すことが出来たが、問題はAQの長さである。

AQ=AD-QD

という式で導くことが出来る。

(12cmからQDの長さを引けばAQの長さになりますよ、ということ)

 

よって、AQ=12-2x、と式を置くことが出来る。

 

以上より式を作ると、

 

2x×(12-2x)=32

 

となるのでこれを解けば解答を導くことができる。



上の式を解くと、x=2 , 4 となる。

ここで、0<2x<12が成り立たなければならないので、

0<x<6という変域を出せる。

(APは0より大きくなり、12cmより多く玖なることはないので、

0<2x<12 ⇔ 0<x<6 という変域が出る。)

 

x=2 , 4は0<x<6に当てはまるので、

答は2秒後と4秒後、ということが分かる。

 

 

動点問題②

図のようなAB=6㎝,BC=8㎝,∠B=90°の直角三角形ABCがある。

点Pは頂点Bを出発して、辺AB上を毎秒2㎝の速さで動いてAで止まり、

点Qは頂点Bを出発して、辺BC上を毎秒1㎝の速さで動いてCで止まるものとする。

2点P,Qが頂点Bを同時に出発してからx秒後の△BPQの面積を考えたとき、

△BPQの面積が8㎠となるのは、2点P,Qが出発してから何秒後か。

mondai2

この問題は、x秒後の△BPQの面積が8㎠となるとき、について問われている。

x秒後のPBの長さ、BQの長さをそれぞれ表すことが出来れば、

 

底辺×高さ÷2=8

 

という式で解答を導くことが出来る。

 

さて、まずはBPの長さを考えてみよう。

Pは毎秒2㎝の速さでAB上を動くので、

1秒で2㎝、2秒で4cm、3秒で6㎝・・・・となる。

よってBP=2xと定められる。

 

次にBQの長さだが、Qは毎秒1cmの速さでBC上を動くので、

1秒で1cm、2秒で2㎝、3秒で3㎝・・・・となる。

よってBQ=x,と定められる。

 

以上から、

 

2x×x÷2=8

 

という式が立式でき、

上の式を解くと、x=±2√2 ,となる。

 

ここで、BP=2xなので、変域は、

0<2x≦6 ⇔ 0<x≦3

と定められる。x=-2√2 は変域に含まれないので、

x=2√2が解答となる。(√2は大体1,4なので、2√2は2,8くらいとなる)



これで2√2秒後が答となることが分かるのだが、

実はもう一つこの問題は考えなければならないことがある。

 

それは、3秒経つとPはAに到着し、

そこから動かなくなることだ。

 

3秒経つと、以下のような図になる。

mondai4

PとAが重なるため、PB=6㎝となり、

BQはまだCに到着していないため、BQ=x㎝となる。

この状態の△BPQについても考える必要がある。

(解いていくと分かるのだが、この△BPQのxを求めても答とはならない。

ただ、自ら考えて解答するときは、全ての可能性を考えなければならない。

仮に定期テストでこの問題が出題されたとして、①の部分のみ解答し、

②以下の部分にふれなかったら満点はもらえない。)

ここで、xの変域についてだが、既にPがAに到着しているため、

3≦x≦8

の範囲となる。

(PはすでにAに到着しているため、

Qについては3秒後から8秒後(Cに到着する)までの範囲で考えなければならない。)

 

以上より、6×x÷2=8を解くと、

mondai5

と言う答えが求められる。

上の値は3≦x≦8の範囲にないので、

mondai5

は不適となる。

 

よって以上より、答は2√2秒後となる。

 

いかがだっただろうか。

動点の問題は非常に複雑なので、しっかりとした演習が必要となる。

ただ、この単元を得意になればみんな出来ないので抜きんでることが可能だ。

理解をし、得意単元にしていこう!

【二次方程式の利用】図形の点の移動に関する問題~動点問題の解き方の攻略~” への4件のコメント

  1. クラクラ より:

    動点②で「点Qは頂点Bを出発して、辺BC上を毎秒2㎝の速さで、、、」とありますが、解説では毎秒1cmになってます。おかしくないですか?

    • 牧野史浩 より:

      >クラクラさん
      ご指摘頂きありがとうございます。
      問題文が間違っていた様で、修正しました。
      今後はこのようなミスをなくしていくよう気をつけます。

  2. ファイル より:

    わかりやすいです!!

    • 牧野史浩 より:

      >ファイルさん
      ありがとうございます^^!

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